第3章 数学科 数学T

 

1.目標および内容

1.目 標

 「数学T」は,代数および幾何の初等的基本的な分野の学習を通じて,数学的な考え方の基本を会得させ,あわせて,他教科ならびに数学科の他の科目の学習に必要な基盤を作ることをねらう科目であって,主として次のことを目標とする。

(1) ものごとを的確に表現したり,科学的に研究したりしていく上に,数・式・図形が果している役割を知り,それらを進んで用いていく態度を養う。

(2) 代数についての基本的な概念・原理・法則等を理解し,簡単な式を目的に応じて適切に運用する能力を養う。

(3) 幾何図形についての基本的な性質を理解し,これを応用する能力を養う。

(4) 幾何および代数の体系や研究方法が同じような考え方に基づいていることを理解し,この体系が知識のまとめ方の一つの典型であることを知る。

(5) 論理的に筋道を立てることの意味を理解し,その能力を養うとともに,いろいろな場合に,前提と結論との関係や論理の進め方に注意をう習慣を身につける。

(6) 数学的な物の見方,考え方の意義を知るとともに,これらに基づいてものごとを的確に処理する能力と態度とを身につける。

 上記の目標は,「数学T」を9単位として履修させる場合にも,6単位として履修させる場合にも共通なものである。しかし,単位数の相違に応じて,目標の重点のおき方,目標に応じた内容の取り上げ方などには考慮を払うことが必要である。

2.内 容

(1) 「数学T」の内容の表は,三つの欄からできている。このような欄を設けて内容を示した目的は,次のようなところにある。 a 代数的内容および幾何的内容を系統的に示す。

b 代数的内容および幾何的内容を通して一般化すべき数学的な考え方を,中心概念として例示する。

(2) 代数的内容および幾何的内容は,標(1),(2),(3),(4)等に連なるものであり,中心概念は,目標(4),(5),(6)等に連なるものであるが,実際の指導にあたつては,中心概念だけを特別に取り出して指導するのではなく,代数的内容と幾何的内容とを中心として指導し,その中に適宜中心概念の指導を織り込んでいくべきものである。

(3) 代数的内容と幾何的内容とは,これを分離して指導しても,また適宜この二つをまとめて指導してもよい。分離して指導する場合には,特に両者の関連に留意することが必要である。また,まとめて指導する場合には,特に代数的内容・幾何的内容のそれぞれの体系についての理解が得られるように配慮することが必要である。

(4) 「数学T」を9単位として課す場合には,次に示す内容は,多くの場合大部分の生徒に共通な数学的内容となるものである。「数学T」を6単位として課す場合は,次に示す内容を適当に取捨して,その課程にふさわしいように組織することが必要である。

数 学 T の 内 容

代 数 的 内 容
幾 何 的 内 容
a 函数の概念 一次函数

二次函数

一般の比例

b 数・式の取扱い 整式の四則,因数分解

簡単な分数式と無理式

平方根数の計算

c 方程式 連立方程式

二次方程式,根の公式

不等式の解法

不等関係の証明

d 対数 指数の拡張

対数の定義と性質

対数計算

計算尺の原理

e 統計 資料の整理

代表値・標準偏差

相関関係・相関係数

a 直線図形の性質 三角形の合同

三角形・四辺形の性質比例と相似形

b 円の性質 円周角

直線と円,円と円との関係

円と三角形

円と多角形

c 軌跡および作図 基本的な作図

軌跡としての直線・円

いろいろな曲線

d 空間図形 直線・平面の結合関係・位置関係

 

正射影および投影図への応用

e 三角函数 180°までの三角函数三角函数の基本的な性質正弦法則・余弦法則

三角形の面積公式

 
中  心  概  念
a 概念を記号で表わすこと。 記号・文字による一般的表現

文字式

式の形

b 概念・法則などを拡張すること。 拡張の原理 c 演繹(えき)的な推論によって知識を体系だてること。 公理・定義

定理・命題

証明

d 対応関係・依存関係をとらえること。 函数的関係

統計的関係

図形的な対応関係・依存関係

命題の論理的依存関係

e 式や図形について不変性を見いだすこと。

f 解析的方法と図形的方法の関連。

函数のグラフ

 

注 中心概念の欄を設けたのは,目標に述べているような数学的な考え方の内容を具体的に例示するためである。そして,この欄では,代数的内容,幾何的内容の中に流れている考え方で,無理なく指導しうるものを選んで例示した。ここに述べたような性格のものであれば,そのまとめ方や表現は例示とは必ずしも一致しなくてもよい。教師は,この例示を参考として「数学T」の目標にふさわしい数学的な考え方の内容を具体的に明らかにして指導にあたることが必要である。

2.内容の説明

代 数 的 内 容

 「数学T」における代数的内容の主眼は,代数的な表現がいろいろな事物現象の表現に用いられているゆえんを明らかにし,その能力を得させることにある。すなわち,数量的な関係の表わし方として,式で表わされた函数,方程式,不等式および統計的な表現についての基本的な事項を指導するもので,その扱いは,平易な程度を中心とするものである。なおここには,実際的な応用を内容として示すことはしなかったが,これは第2章に述べた主旨によって適宜補うことが必要である。

a 函数の概念

 独立変数をしだいに増加させていって,それに対する従属変数の増加減少の様子をとらえることによって,函数の特徴を明らかにする。そして,いろいろな現象が函数として数学的にとらえられることを明らかにする。

b 数・式の取扱

 目的に応じて式を変形したり,ある文字に着目して式を整とんしたりすることに慣れさせ,代数式の扱いが,式の形に対する見通しをはっきりさせることによって,きわめて機械的にできるようになることを明らかにする。

c 方程式

 方程式・不等式・連立方程式の意味を理解し,その解き方に慣れさせるとともに,その解法が,代数的な式を用いて演繹推理を行っているものであることを明らかにする。

d 対数

 形式不易の原理に基く指数拡張の考え方を通して,累乗のひとつの逆演算として対数を導入し,代数的な演算がすべて可逆になるようにする。また対数計算に慣れさせることによって,代数的な考え方を深める。

e 統計

 自然現象や社会現象における統計的な現象の数学的な表現の方法として記述統計の基本的な事項を扱い,その役割を明らかにする。

幾何的内容

 幾何的内容の主眼は,幾何図形の初等的基本的な性質を明らかにして,これを用いる能力を得させるとともに,これを通して,体系的に論理を進めていく方法を会得させることにある。図形の性質については,基本的で平易なものを中心としてしっかりこれを身につけさせることをねらうべきで,この意味から取り扱う問題等はかなりに精選することが必要である。また,関連ある定理は,これを個々別々なものとして扱わず,できるだけ広い統一的な立場からまとめ,その関連性を明らかにすることが望ましい。

 また論理的な扱いの程度は,代数的な内容の指導とも合わせて,生徒のもつ論理性を自然に伸ばしていくという観点から扱うべきで,その意味から論理の出発点としての公理や定義の重要性には重点をおくが,公理群の範疇(ちゅう)性,独立性には重点をおかない。特に空間における公理の取り方やこれにも基づく証明の扱い方においては,教育的な配慮が必要で,生徒の能力を越えた独立性等を要求すべきでない。